遗忘为什么会发热：计算、麦克斯韦妖与信息的物理性
删掉一段文字，看起来只是让一些符号从屏幕上消失。我们很少把这个动作与活塞压缩气体联系起来，更不会觉得“忘记”需要遵守热力学。
但计算机里的符号总要由电荷、磁化方向或其他物理状态承载。当我们要求一个装置抹掉原来的区别，并恢复到统一的初始状态时，就已经提出了一个物理要求。
信息的处理有物理代价。理解这个代价，要看哪些区别被保留、哪些区别被丢弃，以及整个装置是否真正回到了起点。
这也是麦克斯韦妖的故事里，最容易漏算的一笔账。
从一次清零开始
设一个存储单元只有两种逻辑状态：0 和 1。清零操作要求：
\[0\longrightarrow0,\qquad1\longrightarrow0.\]看到最后的 0，我们无法唯一恢复原来的状态。两个不同的输入，汇合成了同一个输出。这叫作逻辑不可逆。
取反则不同：
\[0\longrightarrow1,\qquad1\longrightarrow0.\]给定输出，输入就能唯一确定。它改变了信息的表示，却保留了区分两种输入的能力。
类似地，如果只保留 AND 运算的结果，输出 0 可能来自 00、01 或 10；但如果同时保留输入，整个过程就不必丢失这些区别。判断计算是否可逆，需要看完整的状态，而不只是屏幕上显示的答案。
兰道尔在 1961 年研究的，正是这种逻辑结构与计算装置热行为之间的联系。Landauer，1961
一个比特的热力学账本
考虑一个标准模型：存储器的两个逻辑状态具有对称的物理性质，0 和 1 等概率出现；没有可利用的副本或其他记录；装置与温度为 T 的热浴接触。
这时，逻辑状态的不确定性对应的熵为：
\[S=-k_B\sum_i p_i\ln p_i=k_B\ln2,\]其中 k_B 是玻尔兹曼常数。清零以后，逻辑状态确定，这部分熵降到零。假设存储器在每个逻辑状态内部的热状态按同样方式恢复，那么：
\[\Delta S_{\mathrm{memory}}=-k_B\ln2.\]第二定律要求，存储器减少的熵由环境补偿。若熵通过热量传给热浴，就有：
\[\Delta S_{\mathrm{total}} =-k_B\ln2+\frac{\langle Q_{\mathrm{out}}\rangle}{T}\geq0.\]因此：
\[\boxed{\langle Q_{\mathrm{out}}\rangle\geq k_BT\ln2.}\]这就是常见形式的兰道尔界限。在上述条件下，可靠擦除一个等概率比特，平均至少要向热浴排出这么多热。室温约 300 K 时，它约为 2.9 × 10⁻²¹ 焦耳。
可以把这个模型想成一个盒子：粒子在左边表示 0，在右边表示 1。将两种可能统一重置到左边，相当于把粒子可占据的空间从 V 压缩到 V/2。理想的等温压缩需要做功：
\[W_{\min}=k_BT\ln\frac{V}{V/2}=k_BT\ln2.\]这一压缩图景解释了为什么抽象的“清零”能与热量发生联系。相关实验使用双稳态势阱中的胶体粒子作为一比特存储器，在缓慢擦除的极限下观察到了趋近兰道尔界限的平均排热。Bérut 等，2012
这里的“平均”也有意义：微观系统存在热涨落，不能要求每一次操作的排热都恰好超过同一个数值。
排热与不可逆，并不是同一回事
逻辑不可逆说的是：能否从输出唯一恢复输入。
热力学不可逆说的是：整个过程是否产生了额外的总熵。
在理想擦除极限下，存储器减少 k_B ln2 的熵，热浴恰好增加同样多的熵，二者相加为零。因此，逻辑不可逆的擦除，可以在热力学可逆的极限下完成。 有热量流向环境，并不自动意味着总熵增加。Bennett，2003
真实计算机还会因为电阻、充放电、漏电和控制过程而耗能。不能把这些热量全部归因于信息擦除，也不能把兰道尔界限理解成“每执行一条指令”或“每翻转一个比特”的最低能耗。
反过来，设计一个逻辑可逆的程序，也不代表运行它的芯片就不会发热。逻辑结构提供了避免信息丢失的可能，物理实现决定这种可能能够兑现到什么程度。
妖究竟漏算了什么？
麦克斯韦妖守着气体箱子中间的一道小门。它观察分子，有选择地放行，让快分子逐渐聚到一边，慢分子聚到另一边。
原本温度相同的两边形成了温差。接上一台热机，似乎就可以做功。如果妖和门都能无代价地恢复原状，这个过程就能反复从单一热源取热并全部转化为功。
西拉德的单分子热机让这笔账更容易计算。
在体积为 V 的盒子中放入一个分子，插入中央隔板。妖测量分子在哪一侧，把结果记录为“左”或“右”。根据记录安排活塞，让分子从 V/2 等温膨胀到 V，便可以在理想极限下得到：
\[W_{\mathrm{out}}=k_BT\ln2.\]能量来自热浴。测量结果的作用，是帮助装置选择正确的操作，让吸收的热转化为功。
膨胀结束以后，气体回到了初始状态，但记忆还保留着“左”或“右”。在标准的同温循环中，将这一个随机比特恢复到初始空白状态，最低代价恰好抵消刚才获得的功。
关键在于完整循环。测量本身原则上可以可逆地建立相关性，并不必然付出每比特 k_BT ln2 的热代价；循环里留下的记录却必须得到处理。关于测量与复位的区别
如果妖一直使用新的空白存储器，它可以暂时不擦除。但这样做消耗了处于已知状态的存储空间，整个装置没有回到原状。空白记忆也是一种资源。
信息是物理实体，还是主观认知？
到这里，很自然会得出一个判断：信息既然能影响做功，又有擦除成本，它应该是某种物理实体。
这个判断需要稍微收紧。我们至少在谈三个层次：
| 层次 | 例子 |
|---|---|
| 物理载体 | 电荷、磁化方向、粒子的位置 |
| 可区分状态与相关性 | 两个状态代表 0 和 1；记忆与分子位置对应 |
| 语义解释 | 一串比特代表一首诗、一张照片或一道指令 |
热力学直接约束承载和处理信息的物理过程。它不需要判断一首诗是否动人。同样的物理编码、概率分布和操作协议，不会因为人赋予数据更深的意义，就自动拥有更高的最低排热。
因此，“信息是物理的”强调的是信息的实现条件。它并不要求把信息想成一种独立于载体、像流体一样装在硬盘里的物质。
但是，信息也不能被简单地理解成一个完全不依赖条件的数量。“我们已经知道什么”，确实会影响还剩多少不确定性。要进入热力学账本，这种知识必须能够通过记录或控制装置实际参与操作。
知道一个比特，为什么会改变事情？
假设存储器 X 中有一个随机比特，另一个存储器 Y 保存着它的副本。两者的联合状态只可能是：
\[(X,Y)=(0,0)\quad\text{或}\quad(1,1).\]对 X 做一次受 Y 控制的异或操作：
\[(X,Y)\longrightarrow(X\oplus Y,Y).\]因为 X 与 Y 相同，操作后 X 总是零：
\[(0,0)\longrightarrow(0,0),\qquad (1,1)\longrightarrow(0,1).\]看起来，X 被清零了。但完整输出仍然区分两种输入：信息保留在 Y 中。整个操作可逆，不需要承担丢弃这一个比特所对应的兰道尔成本。
这说明，清空一个物理位置，不一定等于擦除一比特信息。 成本取决于实际丢掉了多少信息，以及还有哪些相关记录可用。条件信息在擦除成本中的作用，也有更一般的理论表述。del Rio 等，2011
如果接着还要把 Y 清零，并且不保留其他记录，那笔账又会出现。
一个人“心里知道答案”，若要帮助机器选择操作，就必须通过某种物理通道影响机器。只改变对过程的描述，却保持装置、输入分布和控制协议完全相同，不会使排热凭空改变。
麦克斯韦妖不需要拥有意识。一个传感器、一段记忆和一套反馈机构，就足以承担它的角色。真正发挥作用的是分子、记录与控制之间可以被利用的相关性。
当我们把一段记录删除，屏幕上消失的是符号；热力学追问的则是：原来能区分的状态，现在由什么来区分？如果相关记录仍然存在，信息只是换了地方。如果装置恢复了统一状态，代价就必须在更完整的物理过程中被计入。